1143.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例 1:
- 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
示例 2:
- 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。
示例 3:
- 输入：text1 = "abc", text2 = "def"
- 输出：0
- 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
提示:
- 1 <= text1.length <= 1000
- 1 <= text2.length <= 1000
输入的字符串只含有小写英文字符。
思路
本题和动态规划：718. 最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
继续动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？
这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，我在 动态规划：718. 最长重复子数组 中的「拓展」里 详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。
- 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
- dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
代码：
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
- 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
};
- 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)
其他语言版本
Java：
/*
二维dp数组
*/
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
// char[] char1 = text1.toCharArray();
// char[] char2 = text2.toCharArray();
// 可以在一開始的時候就先把text1, text2 轉成char[]，之後就不需要有這麼多爲了處理字串的調整
// 就可以和卡哥的code更一致
int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
char char1 = text1.charAt(i - 1);
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
char char2 = text2.charAt(j - 1);
if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
}
/**
一维dp数组
*/
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int n1 = text1.length();
int n2 = text2.length();
// 多从二维dp数组过程分析
// 关键在于 如果记录 dp[i - 1][j - 1]
// 因为 dp[i - 1][j - 1] <!=> dp[j - 1] <=> dp[i][j - 1]
int [] dp = new int[n2 + 1];
for(int i = 1; i <= n1; i++){
// 这里pre相当于 dp[i - 1][j - 1]
int pre = dp[0];
for(int j = 1; j <= n2; j++){
//用于给pre赋值
int cur = dp[j];
if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
//这里pre相当于dp[i - 1][j - 1] 千万不能用dp[j - 1] !!
dp[j] = pre + 1;
} else{
// dp[j] 相当于 dp[i - 1][j]
// dp[j - 1] 相当于 dp[i][j - 1]
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
}
//更新dp[i - 1][j - 1], 为下次使用做准备
pre = cur;
}
}
return dp[n2];
}
}
Python：
2维DP
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
# 创建一个二维数组 dp，用于存储最长公共子序列的长度
dp = [[0] * (len(text2) + 1) for _ in range(len(text1) + 1)]
# 遍历 text1 和 text2，填充 dp 数组
for i in range(1, len(text1) + 1):
for j in range(1, len(text2) + 1):
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
# 如果 text1[i-1] 和 text2[j-1] 相等，则当前位置的最长公共子序列长度为左上角位置的值加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
# 如果 text1[i-1] 和 text2[j-1] 不相等，则当前位置的最长公共子序列长度为上方或左方的较大值
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
# 返回最长公共子序列的长度
return dp[len(text1)][len(text2)]
1维DP
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [0] * (n + 1) # 初始化一维DP数组
for i in range(1, m + 1):
prev = 0 # 保存上一个位置的最长公共子序列长度
for j in range(1, n + 1):
curr = dp[j] # 保存当前位置的最长公共子序列长度
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
# 如果当前字符相等，则最长公共子序列长度加一
dp[j] = prev + 1
else:
# 如果当前字符不相等，则选择保留前一个位置的最长公共子序列长度中的较大值
dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1])
prev = curr # 更新上一个位置的最长公共子序列长度
return dp[n] # 返回最后一个位置的最长公共子序列长度作为结果
Go：
func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
t1 := len(text1)
t2 := len(text2)
dp:=make([][]int,t1+1)
for i:=range dp{
dp[i]=make([]int,t2+1)
}
for i := 1; i <= t1; i++ {
for j := 1; j <=t2; j++ {
if text1[i-1]==text2[j-1]{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
}else{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[t1][t2]
}
func max(a,b int)int {
if a>b{
return a
}
return b
}
JavaScript：
const longestCommonSubsequence = (text1, text2) => {
let dp = Array.from(Array(text1.length+1), () => Array(text2.length+1).fill(0));
for(let i = 1; i <= text1.length; i++) {
for(let j = 1; j <= text2.length; j++) {
if(text1[i-1] === text2[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1;;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[text1.length][text2.length];
};
TypeScript:
function longestCommonSubsequence(text1: string, text2: string): number {
/**
dp[i][j]: text1中前i-1个和text2中前j-1个，最长公共子序列的长度
*/
const length1: number = text1.length,
length2: number = text2.length;
const dp: number[][] = new Array(length1 + 1).fill(0)
.map(_ => new Array(length2 + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= length1; i++) {
for (let j = 1; j <= length2; j++) {
if (text1[i - 1] === text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[length1][length2];
};
Rust
impl Solution {
pub fn longest_common_subsequence(text1: String, text2: String) -> i32 {
let mut dp = vec![vec![0; text2.len() + 1]; text1.len() + 1];
for (i, c1) in text1.chars().enumerate() {
for (j, c2) in text2.chars().enumerate() {
if c1 == c2 {
dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
} else {
dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j + 1].max(dp[i + 1][j]);
}
}
}
dp[text1.len()][text2.len()]
}
}
一维：
impl Solution {
pub fn longest_common_subsequence(text1: String, text2: String) -> i32 {
let mut dp = vec![0; text2.len() + 1];
for c1 in text1.chars() {
// 初始化 prev
let mut prev = 0;
for (j, c2) in text2.chars().enumerate() {
let temp = dp[j + 1];
if c1 == c2 {
// 使用上一次的状态，防止重复计算
dp[j + 1] = prev + 1;
} else {
dp[j + 1] = dp[j + 1].max(dp[j]);
}
// 使用上一次的状态更新 prev
prev = temp;
}
}
dp[text2.len()]
}
}