509. 斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
- 输入：2
- 输出：1
- 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
- 输入：3
- 输出：2
- 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
- 输入：4
- 输出：3
- 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
- 0 <= n <= 30
《代码随想录》算法视频公开课：手把手带你入门动态规划 | leetcode：509.斐波那契数，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
思路
斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。
因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。
但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的。
通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。
对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。
所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲，回溯法系列的回溯三部曲一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。
动态规划
动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
- 举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector<int> dp(N + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
递归解法
本题还可以使用递归解法来做
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N < 2) return N;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
};
- 时间复杂度：O(2^n)
- 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了，如果不清晰的同学，可以看这篇：通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！
总结
斐波那契数列这道题目是非常基础的题目，我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列！
这里我严格按照关于动态规划，你该了解这些！中的动规五部曲来分析了这道题目，一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂，代码其实上来就可以撸出来。
但我还是强调一下，简单题是用来掌握方法论的，动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用，敬请期待！
就酱，循序渐进学算法，认准「代码随想录」！
其他语言版本
Java
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
int a = 0, b = 1, c = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
}
//非压缩状态的版本
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int index = 2; index <= n; index++){
dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
}
return dp[n];
}
}
Python
动态规划（版本一）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
# 排除 Corner Case
if n == 0:
return 0
# 创建 dp table
dp = [0] * (n + 1)
# 初始化 dp 数组
dp[0] = 0
dp[1] = 1
# 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
for i in range(2, n + 1):
# 确定递归公式/状态转移公式
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
# 返回答案
return dp[n]
动态规划（版本二）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
dp = [0, 1]
for i in range(2, n + 1):
total = dp[0] + dp[1]
dp[0] = dp[1]
dp[1] = total
return dp[1]
动态规划（版本三）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n <= 1:
return n
prev1, prev2 = 0, 1
for _ in range(2, n + 1):
curr = prev1 + prev2
prev1, prev2 = prev2, curr
return prev2
递归（版本一）
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n < 2:
return n
return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
Go
func fib(n int) int {
if n < 2 {
return n
}
a, b, c := 0, 1, 0
for i := 1; i < n; i++ {
c = a + b
a, b = b, c
}
return c
}
Javascript
解法一
var fib = function(n) {
let dp = [0, 1]
for(let i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
}
console.log(dp)
return dp[n]
};
解法二：时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
var fib = function(n) {
// 动规状态转移中，当前结果只依赖前两个元素的结果，所以只要两个变量代替dp数组记录状态过程。将空间复杂度降到O(1)
let pre1 = 1
let pre2 = 0
let temp
if (n === 0) return 0
if (n === 1) return 1
for(let i = 2; i <= n; i++) {
temp = pre1
pre1 = pre1 + pre2
pre2 = temp
}
return pre1
};
TypeScript
function fib(n: number): number {
/**
dp[i]: 第i个斐波那契数
dp[0]: 0;
dp[1]：1；
...
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
*/
const dp: number[] = [];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
};
C
动态规划:
int fib(int n){
//当n <= 1时，返回n
if(n <= 1)
return n;
//动态开辟一个int数组，大小为n+1
int *dp = (int *)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
//设置0号位为0，1号为为1
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
//从前向后遍历数组(i=2; i <= n; ++i),下标为n时的元素为dp[i-1] + dp[i-2]
int i;
for(i = 2; i <= n; ++i) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
递归实现：
int fib(int n){
//若n小于等于1，返回n
if(n <= 1)
return n;
//否则返回fib(n-1) + fib(n-2)
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
Rust
动态规划:
impl Solution {
pub fn fib(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
return n;
}
let n = n as usize;
let mut dp = vec![0; n + 1];
dp[1] = 1;
for i in 2..=n {
dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1];
}
dp[n]
}
}
递归实现：
impl Solution {
pub fn fib(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
n
} else {
Self::fib(n - 1) + Self::fib(n - 2)
}
}
}
Scala
动态规划:
object Solution {
def fib(n: Int): Int = {
if (n <= 1) return n
var dp = new Array[Int](n + 1)
dp(1) = 1
for (i <- 2 to n) {
dp(i) = dp(i - 1) + dp(i - 2)
}
dp(n)
}
}
递归:
object Solution {
def fib(n: Int): Int = {
if (n <= 1) return n
fib(n - 1) + fib(n - 2)
}
}
C#
动态规划:
public class Solution
{
public int Fib(int n)
{
if(n<2) return n;
int[] dp = new int[2] { 0, 1 };
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
int temp = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = temp;
}
return dp[1];
}
}
递归:
public class Solution
{
public int Fib(int n)
{
if(n<2)
return n;
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
}