494.目标和
难度：中等
给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。
返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。
示例：
- 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
- 输出：5
解释：
- -1+1+1+1+1 = 3
- +1-1+1+1+1 = 3
- +1+1-1+1+1 = 3
- +1+1+1-1+1 = 3
- +1+1+1+1-1 = 3
一共有5种方法让最终目标和为3。
提示：
- 数组非空，且长度不会超过 20 。
- 初始的数组的和不会超过 1000 。
- 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。
思路
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。
事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。
这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
回溯算法
在回溯算法系列中，一起学过这道题目回溯算法：39. 组合总和的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？
此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。
当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。
我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
}
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
// 以下为回溯法代码
result.clear();
path.clear();
sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
return result.size();
}
};
当然以上代码超时了。
也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧
动态规划
如何转化为01背包问题呢。
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
所以我们要求的是 x - (sum - x) = target
x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。
大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：
（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。
（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？
因为每个物品（题目中的1）只用一次！
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来，这个我在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）也有介绍。
- 确定递推公式
有哪些来源可以推出dp[j]呢？
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
- 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
- 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
- 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。
其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。
如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。
可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。
其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。
dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
- 确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
- 举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
C++代码如下：
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
int bagSize = (S + sum) / 2;
vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
};
- 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
- 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
总结
此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的回溯算法：39. 组合总和是不是应该也可以用dp来做啊？
是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但回溯算法：39. 组合总和要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的。
本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
dp[j] += dp[j - nums[i]];
后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！
其他语言版本
Java
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
//如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的
if (Math.abs(target) > sum) return 0;
//如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int bagSize = (target + sum) / 2;
int[] dp = new int[bagSize + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
}
易于理解的二维数组版本：
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
// 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
// 易于理解的二维数组解法及详细注释
int sum = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum += nums[i];
}
// 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
// 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right）
if(sum < Math.abs(target)){
return 0;
}
// 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析
// 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
if((sum + target) % 2 != 0) {
return 0;
}
int left = (sum + target) / 2;
// dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数
int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];
// 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1
// 其他情况dp[0][j] = 0
// java整数数组默认初始值为0
if (nums[0] <= left) {
dp[0][nums[0]] = 1;
}
// 初始化最左列（dp[i][0])
// 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
// n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）
int numZeros = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
if(nums[i] == 0) {
numZeros++;
}
dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);
}
// 递推公式分析：
// 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数
// nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
// 由递推公式可知，先遍历i或j都可
for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
for(int j = 1; j <= left; j++) {
if(nums[i] > j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
}
}
}
// 打印dp数组
// for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
// for(int j = 0; j <= left; j++) {
// System.out.print(dp[i][j] + " ");
// }
// System.out.println("");
// }
return dp[nums.length - 1][left];
}
}
Python
回溯版
class Solution:
def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
if total == target:
result.append(path[:]) # 将当前路径的副本添加到结果中
# 如果 sum + candidates[i] > target，则停止遍历
for i in range(startIndex, len(candidates)):
if total + candidates[i] > target:
break
total += candidates[i]
path.append(candidates[i])
self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)
total -= candidates[i]
path.pop()
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
total = sum(nums)
if target > total:
return 0 # 此时没有方案
if (target + total) % 2 != 0:
return 0 # 此时没有方案，两个整数相加时要注意数值溢出的问题
bagSize = (target + total) // 2 # 转化为组合总和问题，bagSize就是目标和
# 以下是回溯法代码
result = []
nums.sort() # 需要对nums进行排序
self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)
return len(result)
二维DP
class Solution:
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和
if abs(target) > total_sum:
return 0 # 此时没有方案
if (target + total_sum) % 2 == 1:
return 0 # 此时没有方案
target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和
# 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和
dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
# 初始化状态
dp[0][0] = 1
# 动态规划过程
for i in range(1, len(nums) + 1):
for j in range(target_sum + 1):
dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 不选取当前元素
if j >= nums[i - 1]:
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]] # 选取当前元素
return dp[len(nums)][target_sum] # 返回达到目标和的方案数
一维DP
class Solution:
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
total_sum = sum(nums) # 计算nums的总和
if abs(target) > total_sum:
return 0 # 此时没有方案
if (target + total_sum) % 2 == 1:
return 0 # 此时没有方案
target_sum = (target + total_sum) // 2 # 目标和
dp = [0] * (target_sum + 1) # 创建动态规划数组，初始化为0
dp[0] = 1 # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选
for num in nums:
for j in range(target_sum, num - 1, -1):
dp[j] += dp[j - num] # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量
return dp[target_sum] # 返回达到目标和的方案数
Go
func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
sum := 0
for _, v := range nums {
sum += v
}
if abs(target) > sum {
return 0
}
if (sum+target)%2 == 1 {
return 0
}
// 计算背包大小
bag := (sum + target) / 2
// 定义dp数组
dp := make([]int, bag+1)
// 初始化
dp[0] = 1
// 遍历顺序
for i := 0; i < len(nums); i++ {
for j := bag; j >= nums[i]; j-- {
//推导公式
dp[j] += dp[j-nums[i]]
//fmt.Println(dp)
}
}
return dp[bag]
}
func abs(x int) int {
return int(math.Abs(float64(x)))
}
Javascript
const findTargetSumWays = (nums, target) => {
const sum = nums.reduce((a, b) => a+b);
if(Math.abs(target) > sum) {
return 0;
}
if((target + sum) % 2) {
return 0;
}
const halfSum = (target + sum) / 2;
let dp = new Array(halfSum+1).fill(0);
dp[0] = 1;
for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
for(let j = halfSum; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[halfSum];
};
TypeScript
function findTargetSumWays(nums: number[], target: number): number {
// 把数组分成两个组合left, right.left + right = sum, left - right = target.
const sum: number = nums.reduce((a: number, b: number): number => a + b);
if ((sum + target) % 2 || Math.abs(target) > sum) return 0;
const left: number = (sum + target) / 2;
// 将问题转化为装满容量为left的背包有多少种方法
// dp[i]表示装满容量为i的背包有多少种方法
const dp: number[] = new Array(left + 1).fill(0);
dp[0] = 1; // 装满容量为0的背包有1种方法（什么也不装）
for (let i: number = 0; i < nums.length; i++) {
for (let j: number = left; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[left];
};
Scala
object Solution {
def findTargetSumWays(nums: Array[Int], target: Int): Int = {
var sum = nums.sum
if (math.abs(target) > sum) return 0 // 此时没有方案
if ((sum + target) % 2 == 1) return 0 // 此时没有方案
var bagSize = (sum + target) / 2
var dp = new Array[Int](bagSize + 1)
dp(0) = 1
for (i <- 0 until nums.length; j <- bagSize to nums(i) by -1) {
dp(j) += dp(j - nums(i))
}
dp(bagSize)
}
}
Rust
impl Solution {
pub fn find_target_sum_ways(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
let sum = nums.iter().sum::<i32>();
if target.abs() > sum {
return 0;
}
if (target + sum) % 2 == 1 {
return 0;
}
let size = (sum + target) as usize / 2;
let mut dp = vec![0; size + 1];
dp[0] = 1;
for n in nums {
for s in (n as usize..=size).rev() {
dp[s] += dp[s - n as usize];
}
}
dp[size]
}
}
C#
public class Solution
{
public int FindTargetSumWays(int[] nums, int target)
{
int sum = 0;
foreach (int num in nums)
{
sum += num;
}
if (Math.Abs(target) > sum) return 0;
if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
int bagSize = (sum + target) / 2;
int[] dp = new int[bagSize + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
{
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--)
{
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
}