构造二叉搜索树，一不小心就平衡了
108.将有序数组转换为二叉搜索树
将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。
本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
示例:
算法公开课
《代码随想录》算法视频公开课：构造平衡二叉搜索树！| LeetCode：108.将有序数组转换为二叉搜索树，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
思路
做这道题目之前大家可以了解一下这几道：
- 106.从中序与后序遍历序列构造二叉树
- 654.最大二叉树中其实已经讲过了，如果根据数组构造一棵二叉树。
- 701.二叉搜索树中的插入操作
- 450.删除二叉搜索树中的节点
进入正题：
题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。为什么强调要平衡呢？
因为只要给我们一个有序数组，如果不强调平衡，都可以以线性结构来构造二叉搜索树。
例如 有序数组[-10，-3，0，5，9] 就可以构造成这样的二叉搜索树，如图。
上图中，是符合二叉搜索树的特性吧，如果要这么做的话，是不是本题意义就不大了，所以才强调是平衡二叉搜索树。
其实数组构造二叉树，构成平衡树是自然而然的事情，因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素，一般不会随机取。所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦。
在二叉树：构造二叉树登场！和二叉树：构造一棵最大的二叉树中其实已经讲过了，如果根据数组构造一棵二叉树。
本质就是寻找分割点，分割点作为当前节点，然后递归左区间和右区间。
本题其实要比二叉树：构造二叉树登场！ 和 二叉树：构造一棵最大的二叉树简单一些，因为有序数组构造二叉搜索树，寻找分割点就比较容易了。
分割点就是数组中间位置的节点。
那么为问题来了，如果数组长度为偶数，中间节点有两个，取哪一个？
取哪一个都可以，只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。
例如：输入：[-10,-3,0,5,9]
如下两棵树，都是这个数组的平衡二叉搜索树：
如果要分割的数组长度为偶数的时候，中间元素为两个，是取左边元素 就是树1，取右边元素就是树2。
这也是题目中强调答案不是唯一的原因。 理解这一点，这道题目算是理解到位了。
递归
递归三部曲：
- 确定递归函数返回值及其参数
删除二叉树节点，增加二叉树节点，都是用递归函数的返回值来完成，这样是比较方便的。
相信大家如果仔细看了二叉树：搜索树中的插入操作和二叉树：搜索树中的删除操作，一定会对递归函数返回值的作用深有感触。
那么本题要构造二叉树，依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。
再来看参数，首先是传入数组，然后就是左下标left和右下标right，我们在二叉树：构造二叉树登场！中提过，在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组，而是用下标来操作原数组。
所以代码如下：
// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)
这里注意，我这里定义的是左闭右闭区间，在不断分割的过程中，也会坚持左闭右闭的区间，这又涉及到我们讲过的循环不变量。
在二叉树：构造二叉树登场！，35.搜索插入位置 和59.螺旋矩阵II都详细讲过循环不变量。
- 确定递归终止条件
这里定义的是左闭右闭的区间，所以当区间 left > right的时候，就是空节点了。
代码如下：
if (left > right) return nullptr;
- 确定单层递归的逻辑
首先取数组中间元素的位置，不难写出int mid = (left + right) / 2;，这么写其实有一个问题，就是数值越界，例如left和right都是最大int，这么操作就越界了，在二分法中尤其需要注意！
所以可以这么写：int mid = left + ((right - left) / 2);
但本题leetcode的测试数据并不会越界，所以怎么写都可以。但需要有这个意识！
取了中间位置，就开始以中间位置的元素构造节点，代码：TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);。
接着划分区间，root的左孩子接住下一层左区间的构造节点，右孩子接住下一层右区间构造的节点。
最后返回root节点，单层递归整体代码如下：
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
这里int mid = left + ((right - left) / 2);的写法相当于是如果数组长度为偶数，中间位置有两个元素，取靠左边的。
- 递归整体代码如下：
class Solution {
private:
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {
if (left > right) return nullptr;
int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
}
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);
return root;
}
};
注意：在调用traversal的时候传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1，因为定义的区间为左闭右闭。
迭代法
迭代法可以通过三个队列来模拟，一个队列放遍历的节点，一个队列放左区间下标，一个队列放右区间下标。
模拟的就是不断分割的过程，C++代码如下：（我已经详细注释）
class Solution {
public:
TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return nullptr;
TreeNode* root = new TreeNode(0); // 初始根节点
queue<TreeNode*> nodeQue; // 放遍历的节点
queue<int> leftQue; // 保存左区间下标
queue<int> rightQue; // 保存右区间下标
nodeQue.push(root); // 根节点入队列
leftQue.push(0); // 0为左区间下标初始位置
rightQue.push(nums.size() - 1); // nums.size() - 1为右区间下标初始位置
while (!nodeQue.empty()) {
TreeNode* curNode = nodeQue.front();
nodeQue.pop();
int left = leftQue.front(); leftQue.pop();
int right = rightQue.front(); rightQue.pop();
int mid = left + ((right - left) / 2);
curNode->val = nums[mid]; // 将mid对应的元素给中间节点
if (left <= mid - 1) { // 处理左区间
curNode->left = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->left);
leftQue.push(left);
rightQue.push(mid - 1);
}
if (right >= mid + 1) { // 处理右区间
curNode->right = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode->right);
leftQue.push(mid + 1);
rightQue.push(right);
}
}
return root;
}
};
总结
在二叉树：构造二叉树登场！ 和 二叉树：构造一棵最大的二叉树之后，我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了，一不小心还是一棵平衡二叉搜索树。
其实思路也是一样的，不断中间分割，然后递归处理左区间，右区间，也可以说是分治。
此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了，这也是常规操作。
在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。
最后依然给出迭代的方法，其实就是模拟取中间元素，然后不断分割去构造二叉树的过程。
其他语言版本
Java
递归: 左闭右开 [left,right)
class Solution {
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
return sortedArrayToBST(nums, 0, nums.length);
}
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums, int left, int right) {
if (left >= right) {
return null;
}
if (right - left == 1) {
return new TreeNode(nums[left]);
}
int mid = left + (right - left) / 2;
TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
root.left = sortedArrayToBST(nums, left, mid);
root.right = sortedArrayToBST(nums, mid + 1, right);
return root;
}
}
递归: 左闭右闭 [left,right]
class Solution {
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
TreeNode root = traversal(nums, 0, nums.length - 1);
return root;
}
// 左闭右闭区间[left, right]
private TreeNode traversal(int[] nums, int left, int right) {
if (left > right) return null;
int mid = left + ((right - left) >> 1);
TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
root.left = traversal(nums, left, mid - 1);
root.right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
}
}
迭代: 左闭右闭 [left,right]
class Solution {
public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return null;
//根节点初始化
TreeNode root = new TreeNode(-1);
Queue<TreeNode> nodeQueue = new LinkedList<>();
Queue<Integer> leftQueue = new LinkedList<>();
Queue<Integer> rightQueue = new LinkedList<>();
// 根节点入队列
nodeQueue.offer(root);
// 0为左区间下标初始位置
leftQueue.offer(0);
// nums.size() - 1为右区间下标初始位置
rightQueue.offer(nums.length - 1);
while (!nodeQueue.isEmpty()) {
TreeNode currNode = nodeQueue.poll();
int left = leftQueue.poll();
int right = rightQueue.poll();
int mid = left + ((right - left) >> 1);
// 将mid对应的元素给中间节点
currNode.val = nums[mid];
// 处理左区间
if (left <= mid - 1) {
currNode.left = new TreeNode(-1);
nodeQueue.offer(currNode.left);
leftQueue.offer(left);
rightQueue.offer(mid - 1);
}
// 处理右区间
if (right >= mid + 1) {
currNode.right = new TreeNode(-1);
nodeQueue.offer(currNode.right);
leftQueue.offer(mid + 1);
rightQueue.offer(right);
}
}
return root;
}
}
Python
递归法
class Solution:
def traversal(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> TreeNode:
if left > right:
return None
mid = left + (right - left) // 2
root = TreeNode(nums[mid])
root.left = self.traversal(nums, left, mid - 1)
root.right = self.traversal(nums, mid + 1, right)
return root
def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
root = self.traversal(nums, 0, len(nums) - 1)
return root
迭代法
from collections import deque
class Solution:
def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
if len(nums) == 0:
return None
root = TreeNode(0) # 初始根节点
nodeQue = deque() # 放遍历的节点
leftQue = deque() # 保存左区间下标
rightQue = deque() # 保存右区间下标
nodeQue.append(root) # 根节点入队列
leftQue.append(0) # 0为左区间下标初始位置
rightQue.append(len(nums) - 1) # len(nums) - 1为右区间下标初始位置
while nodeQue:
curNode = nodeQue.popleft()
left = leftQue.popleft()
right = rightQue.popleft()
mid = left + (right - left) // 2
curNode.val = nums[mid] # 将mid对应的元素给中间节点
if left <= mid - 1: # 处理左区间
curNode.left = TreeNode(0)
nodeQue.append(curNode.left)
leftQue.append(left)
rightQue.append(mid - 1)
if right >= mid + 1: # 处理右区间
curNode.right = TreeNode(0)
nodeQue.append(curNode.right)
leftQue.append(mid + 1)
rightQue.append(right)
return root
Go
递归（隐含回溯）
func sortedArrayToBST(nums []int) *TreeNode {
if len(nums) == 0 { //终止条件，最后数组为空则可以返回
return nil
}
idx := len(nums)/2
root := &TreeNode{Val: nums[idx]}
root.Left = sortedArrayToBST(nums[:idx])
root.Right = sortedArrayToBST(nums[idx+1:])
return root
}
JavaScript
递归
var sortedArrayToBST = function (nums) {
const buildTree = (Arr, left, right) => {
if (left > right)
return null;
let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
let root = new TreeNode(Arr[mid]);
root.left = buildTree(Arr, left, mid - 1);
root.right = buildTree(Arr, mid + 1, right);
return root;
}
return buildTree(nums, 0, nums.length - 1);
};
迭代
var sortedArrayToBST = function(nums) {
if(nums.length===0) {
return null;
}
let root = new TreeNode(0); //初始根节点
let nodeQue = [root]; //放遍历的节点,并初始化
let leftQue = [0]; //放左区间的下标,初始化
let rightQue = [nums.length-1]; // 放右区间的下标
while(nodeQue.length) {
let curNode = nodeQue.pop();
let left = leftQue.pop();
let right = rightQue.pop();
let mid = left + Math.floor((right-left)/2);
curNode.val = nums[mid]; //将下标为mid的元素给中间节点
// 处理左区间
if(left <= mid-1) {
curNode.left = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode.left);
leftQue.push(left);
rightQue.push(mid-1);
}
// 处理右区间
if(right >= mid+1) {
curNode.right = new TreeNode(0);
nodeQue.push(curNode.right);
leftQue.push(mid+1);
rightQue.push(right);
}
}
return root;
};
TypeScript
function sortedArrayToBST(nums: number[]): TreeNode | null {
function recur(nums: number[], left: number, right: number): TreeNode | null {
if (left > right) return null;
let mid: number = Math.floor((left + right) / 2);
const root: TreeNode = new TreeNode(nums[mid]);
root.left = recur(nums, left, mid - 1);
root.right = recur(nums, mid + 1, right);
return root;
}
return recur(nums, 0, nums.length - 1);
};
C
递归
struct TreeNode* traversal(int* nums, int left, int right) {
if (left > right)
return NULL;
int mid = left + ((right - left) / 2);
struct TreeNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
root->val = nums[mid];
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
}
struct TreeNode* sortedArrayToBST(int* nums, int numsSize) {
struct TreeNode* root = traversal(nums, 0, numsSize - 1);
return root;
}
Scala
递归:
object Solution {
def sortedArrayToBST(nums: Array[Int]): TreeNode = {
def buildTree(left: Int, right: Int): TreeNode = {
if (left > right) return null // 当left大于right的时候，返回空
// 最中间的节点是当前节点
var mid = left + (right - left) / 2
var curNode = new TreeNode(nums(mid))
curNode.left = buildTree(left, mid - 1)
curNode.right = buildTree(mid + 1, right)
curNode
}
buildTree(0, nums.size - 1)
}
}
Rust
递归：
impl Solution {
pub fn sorted_array_to_bst(nums: Vec<i32>) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
if nums.is_empty() {
return None;
}
let index = nums.len() / 2;
let mut root = TreeNode::new(nums[index]);
root.left = Self::sorted_array_to_bst(nums[..index].to_vec());
root.right = Self::sorted_array_to_bst(nums[index + 1..].to_vec());
Some(Rc::new(RefCell::new(root)))
}
}
C#
// 递归
public TreeNode SortedArrayToBST(int[] nums)
{
return Traversal(nums, 0, nums.Length - 1);
}
public TreeNode Traversal(int[] nums, int left, int right)
{
if (left > right) return null;
int mid = left + (right - left) / 2;
TreeNode node = new TreeNode(nums[mid]);
node.left = Traversal(nums, left, mid - 1);
node.right = Traversal(nums, mid + 1, right);
return node;
}