322. 零钱兑换

力扣题目链接

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

思路

在动态规划：518.零钱兑换II中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

代码如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕，C++ 代码如下：

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
空间复杂度: O(amount)

对于遍历方式遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，我就直接给出代码了

// 版本二
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

同上

总结

细心的同学看网上的题解，可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了，到底两个for循环应该是什么先后关系。

能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到！

这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在，有的时候递推公式很简单，难在遍历顺序上！

但最终又可以稀里糊涂的把题目过了，也不知道为什么这样可以过，反正就是过了。

那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。

动态规划：518.零钱兑换II中求的是组合数，动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中求的是排列数。

而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即：322.零钱兑换，这是Carl的良苦用心那。

相信大家看完之后，对背包问题中的遍历顺序有更深的理解了。

其他语言版本

Java：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        //当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            //正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    //选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}

Python：

先遍历物品后遍历背包

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)  # 创建动态规划数组，初始值为正无穷大
        dp[0] = 0  # 初始化背包容量为0时的最小硬币数量为0

        for coin in coins:  # 遍历硬币列表，相当于遍历物品
            for i in range(coin, amount + 1):  # 遍历背包容量
                if dp[i - coin] != float('inf'):  # 如果dp[i - coin]不是初始值，则进行状态转移
                    dp[i] = min(dp[i - coin] + 1, dp[i])  # 更新最小硬币数量

        if dp[amount] == float('inf'):  # 如果最终背包容量的最小硬币数量仍为正无穷大，表示无解
            return -1
        return dp[amount]  # 返回背包容量为amount时的最小硬币数量

先遍历背包后遍历物品

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)  # 创建动态规划数组，初始值为正无穷大
        dp[0] = 0  # 初始化背包容量为0时的最小硬币数量为0

        for i in range(1, amount + 1):  # 遍历背包容量
            for j in range(len(coins)):  # 遍历硬币列表，相当于遍历物品
                if i - coins[j] >= 0 and dp[i - coins[j]] != float('inf'):  # 如果dp[i - coins[j]]不是初始值，则进行状态转移
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i])  # 更新最小硬币数量

        if dp[amount] == float('inf'):  # 如果最终背包容量的最小硬币数量仍为正无穷大，表示无解
            return -1
        return dp[amount]  # 返回背包容量为amount时的最小硬币数量

先遍历物品后遍历背包（优化版）

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for coin in coins:
            for i in range(coin, amount + 1): # 进行优化，从能装得下的背包开始计算，则不需要进行比较
                # 更新凑成金额 i 所需的最少硬币数量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

先遍历背包后遍历物品（优化版）

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, amount + 1):  # 遍历背包容量
            for coin in coins:  # 遍历物品
                if i - coin >= 0:
                    # 更新凑成金额 i 所需的最少硬币数量
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

Go：

// 版本一, 先遍历物品,再遍历背包
func coinChange1(coins []int, amount int) int {
	dp := make([]int, amount+1)
	// 初始化dp[0]
	dp[0] = 0
	// 初始化为math.MaxInt32
	for j := 1; j <= amount; j++ {
		dp[j] = math.MaxInt32
	}

	// 遍历物品
	for i := 0; i < len(coins); i++ {
		// 遍历背包
		for j := coins[i]; j <= amount; j++ {
			if dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
				// 推导公式
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
				//fmt.Println(dp,j,i)
			}
		}
	}
	// 没找到能装满背包的, 就返回-1
	if dp[amount] == math.MaxInt32 {
		return -1
	}
	return dp[amount]
}

// 版本二,先遍历背包,再遍历物品
func coinChange2(coins []int, amount int) int {
	dp := make([]int, amount+1)
	// 初始化dp[0]
	dp[0] = 0
	// 遍历背包,从1开始
	for j := 1; j <= amount; j++ {
		// 初始化为math.MaxInt32
		dp[j] = math.MaxInt32
		// 遍历物品
		for i := 0; i < len(coins); i++ {
			if j >= coins[i] && dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
				// 推导公式
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
				//fmt.Println(dp)
			}
		}
	}
	// 没找到能装满背包的, 就返回-1
	if dp[amount] == math.MaxInt32 {
		return -1
	}
	return dp[amount]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}

Rust:

// 遍历物品
impl Solution {
    pub fn coin_change(coins: Vec<i32>, amount: i32) -> i32 {
        let amount = amount as usize;
        let mut dp = vec![i32::MAX; amount + 1];
        dp[0] = 0;
        for coin in coins {
            for i in coin as usize..=amount {
                if dp[i - coin as usize] != i32::MAX {
                    dp[i] = dp[i].min(dp[i - coin as usize] + 1);
                }
            }
        }
        if dp[amount] == i32::MAX {
            return -1;
        }
        dp[amount]
    }
}

// 遍历背包
impl Solution {
    pub fn coin_change(coins: Vec<i32>, amount: i32) -> i32 {
        let amount = amount as usize;
        let mut dp = vec![i32::MAX; amount + 1];
        dp[0] = 0;
        for i in 1..=amount {
            for &coin in &coins {
                if i >= coin as usize && dp[i - coin as usize] != i32::MAX {
                    dp[i] = dp[i].min(dp[i - coin as usize] + 1)
                }
            }
        }
        if dp[amount] == i32::MAX {
            return -1;
        }
        dp[amount]
    }    
}

Javascript：

// 遍历物品
const coinChange = (coins, amount) => {
    if(!amount) {
        return 0;
    }

    let dp = Array(amount + 1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;

    for(let i = 0; i < coins.length; i++) {
        for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
        }
    }

    return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
}

// 遍历背包
var coinChange = function(coins, amount) {
  const dp = Array(amount + 1).fill(Infinity)
  dp[0] = 0
  for (let i = 1; i <= amount; i++) {
    for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
      if (i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] !== Infinity) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
      }
    }
  }
  return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]
}

TypeScript：

// 遍历物品
function coinChange(coins: number[], amount: number): number {
    const dp: number[] = new Array(amount + 1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            if (dp[j - coins[i]] === Infinity) continue;
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
        }
    }
    return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
};

// 遍历背包
function coinChange(coins: number[], amount: number): number {
  const dp: number[] = Array(amount + 1).fill(Infinity)
  dp[0] = 0
  for (let i = 1; i <= amount; i++) {
    for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
      if (i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] !== Infinity) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)
      }
    }
  }
  return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount]
}

0322.零钱兑换