和子集问题有点像，但又处处是陷阱

491.递增子序列

力扣题目链接

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

输入: [4, 6, 7, 7]
输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

说明:

给定数组的长度不会超过15。
数组中的整数范围是 [-100,100]。
给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

思路

这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。

这又是子集，又是去重，是不是不由自主的想起了刚刚讲过的90.子集II。

就是因为太像了，更要注意差别所在，要不就掉坑里了！

在90.子集II中我们是通过排序，再加一个标记数组来达到去重的目的。

而本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用之前的去重逻辑！

本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：

回溯三部曲

递归函数参数

本题求子序列，很明显一个元素不能重复使用，所以需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。

代码如下：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex)

终止条件

本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点，所以和回溯算法：求子集问题！一样，可以不加终止条件，startIndex每次都会加1，并不会无限递归。

但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下：

if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
}

单层搜索逻辑

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了

那么单层搜索代码如下：

unordered_set<int> uset; // 使用set来对本层元素进行去重
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
    if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
            || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
            continue;
    }
    uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, i + 1);
    path.pop_back();
}

对于已经习惯写回溯的同学，看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);，下面却没有对应的pop之类的操作，应该很不习惯吧

这也是需要注意的点，unordered_set<int> uset; 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！

最后整体C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
                    continue;
            }
            uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

优化

以上代码用我用了unordered_set<int>来记录本层元素是否重复使用。

其实用数组来做哈希，效率就高了很多。

注意题目中说了，数值范围[-100,100]，所以完全可以用数组来做哈希。

程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且每次重新定义set，insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费事的。

那么优化后的代码如下：

// 版本二
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
        }
        int used[201] = {0}; // 这里使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || used[nums[i] + 100] == 1) {
                    continue;
            }
            used[nums[i] + 100] = 1; // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

这份代码在leetcode上提交，要比版本一耗时要好的多。

所以正如在哈希表：总结篇！（每逢总结必经典）中说的那样，数组，set，map都可以做哈希表，而且数组干的活，map和set都能干，但如果数值范围小的话能用数组尽量用数组。

总结

本题题解清一色都说是深度优先搜索，但我更倾向于说它用回溯法，而且本题我也是完全使用回溯法的逻辑来分析的。

相信大家在本题中处处都能看到是回溯算法：求子集问题（二）的身影，但处处又都是陷阱。

对于养成思维定式或者套模板套嗨了的同学，这道题起到了很好的警醒作用。更重要的是拓展了大家的思路！

其他语言版本

Java

//using set, aligned with the unimproved method
class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backTracking(nums, 0);
        return result;
    }
    private void backTracking(int[] nums, int startIndex){
        if(path.size() >= 2)
                result.add(new ArrayList<>(path));            
        HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
        for(int i = startIndex; i < nums.length; i++){
            if(!path.isEmpty() && path.get(path.size() -1 ) > nums[i] || hs.contains(nums[i]))
                continue;
            hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            backTracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

class Solution {
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backtracking(nums,0);
        return res;
    }

    private void backtracking (int[] nums, int start) {
        if (path.size() > 1) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }

        int[] used = new int[201];
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
                    (used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
            used[nums[i] + 100] = 1;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

//法二：使用map
class Solution {
    //结果集合
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    //路径集合
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        getSubsequences(nums,0);
        return res;
    }
    private void getSubsequences( int[] nums, int start ) {
        if(path.size()>1 ){
            res.add( new ArrayList<>(path) );
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        for(int i=start ;i < nums.length ;i++){
            if(!path.isEmpty() && nums[i]< path.getLast()){
                continue;
            }
            // 使用过了当前数字
            if ( map.getOrDefault( nums[i],0 ) >=1 ){
                continue;
            }
            map.put(nums[i],map.getOrDefault( nums[i],0 )+1);
            path.add( nums[i] );
            getSubsequences( nums,i+1 );
            path.removeLast();
        }
    }
}

Python

回溯利用set去重

class Solution:
    def findSubsequences(self, nums):
        result = []
        path = []
        self.backtracking(nums, 0, path, result)
        return result
    
    def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
        if len(path) > 1:
            result.append(path[:])  # 注意要使用切片将当前路径的副本加入结果集
            # 注意这里不要加return，要取树上的节点
        
        uset = set()  # 使用集合对本层元素进行去重
        for i in range(startIndex, len(nums)):
            if (path and nums[i] < path[-1]) or nums[i] in uset:
                continue
            
            uset.add(nums[i])  # 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.append(nums[i])
            self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
            path.pop()

回溯利用哈希表去重

class Solution:
    def findSubsequences(self, nums):
        result = []
        path = []
        self.backtracking(nums, 0, path, result)
        return result

    def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
        if len(path) > 1:
            result.append(path[:])  # 注意要使用切片将当前路径的副本加入结果集
        
        used = [0] * 201  # 使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
        for i in range(startIndex, len(nums)):
            if (path and nums[i] < path[-1]) or used[nums[i] + 100] == 1:
                continue  # 如果当前元素小于上一个元素，或者已经使用过当前元素，则跳过当前元素
            
            used[nums[i] + 100] = 1  # 标记当前元素已经使用过
            path.append(nums[i])  # 将当前元素加入当前递增子序列
            self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
            path.pop()

Go

var (
    res [][]int
    path  []int
)
func findSubsequences(nums []int) [][]int {
    res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(nums))
    dfs(nums, 0)
    return res
}
func dfs(nums []int, start int) {
    if len(path) >= 2 {
        tmp := make([]int, len(path))
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
    }
    used := make(map[int]bool, len(nums))   // 初始化used字典，用以对同层元素去重
    for i := start; i < len(nums); i++ {
        if used[nums[i]] {   // 去重
            continue
        }
        if len(path) == 0 || nums[i] >= path[len(path)-1] {
            path = append(path, nums[i])
            used[nums[i]] = true
            dfs(nums, i+1)
            path = path[:len(path)-1]
        }
    }
}

Javascript


var findSubsequences = function(nums) {
    let result = []
    let path = []
    function backtracing(startIndex) {
        if(path.length > 1) {
            result.push(path.slice())
        }
        let uset = []
        for(let i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            if((path.length > 0 && nums[i] < path[path.length - 1]) || uset[nums[i] + 100]) {
                continue
            }
            uset[nums[i] + 100] = true
            path.push(nums[i])
            backtracing(i + 1)
            path.pop()
        }
    }
    backtracing(0)
    return result
};

TypeScript

function findSubsequences(nums: number[]): number[][] {
    const resArr: number[][] = [];
    backTracking(nums, 0, []);
    return resArr;
    function backTracking(nums: number[], startIndex: number, route: number[]): void {
        let length: number = nums.length;
        if (route.length >= 2) {
            resArr.push(route.slice());
        }
        const usedSet: Set<number> = new Set();
        for (let i = startIndex; i < length; i++) {
            if (
                nums[i] < route[route.length - 1] ||
                usedSet.has(nums[i])
            ) continue;
            usedSet.add(nums[i]);
            route.push(nums[i]);
            backTracking(nums, i + 1, route);
            route.pop();
        }
    }
};

Rust

回溯+哈希

use std::collections::HashSet;
impl Solution {
    fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, nums: &Vec<i32>, start_index: usize) {
        if path.len() > 1 { result.push(path.clone()); }
        let len = nums.len();
        let mut uset: HashSet<i32> = HashSet::new();
        for i in start_index..len {
            if (!path.is_empty() && nums[i] < *path.last().unwrap()) || uset.contains(&nums[i]) { continue; }
            uset.insert(nums[i]);
            path.push(nums[i]);
            Self::backtracking(result, path, nums, i + 1);
            path.pop();
        }
    }

    pub fn find_subsequences(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
        let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, &nums, 0);
        result
    }
}

回溯+数组

impl Solution {
    fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, nums: &Vec<i32>, start_index: usize) {
        if path.len() > 1 { result.push(path.clone()); }
        let len = nums.len();
        let mut used = [0; 201];
        for i in start_index..len {
            if (!path.is_empty() && nums[i] < *path.last().unwrap()) || used[(nums[i] + 100) as usize] == 1 { continue; }
            used[(nums[i] + 100) as usize] = 1;
            path.push(nums[i]);
            Self::backtracking(result, path, nums, i + 1);
            path.pop();
        }
    }

    pub fn find_subsequences(nums: Vec<i32>) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
        let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, &nums, 0);
        result
    }
}

C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
int* length;
//将当前path中的内容复制到ans中
void copy() {
    int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
    memcpy(tempPath, path, pathTop * sizeof(int));
    length[ansTop] = pathTop;
    ans[ansTop++] = tempPath;
}

//查找uset中是否存在值为key的元素
int find(int* uset, int usetSize, int key) {
    int i;
    for(i = 0; i < usetSize; i++) {
        if(uset[i] == key)
            return 1;
    }
    return 0;
}

void backTracking(int* nums, int numsSize, int startIndex) {
    //当path中元素大于1个时，将path拷贝到ans中
    if(pathTop > 1) {
        copy();
    }
    int* uset = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
    int usetTop = 0;
    int i;
    for(i = startIndex; i < numsSize; i++) {
        //若当前元素小于path中最后一位元素 || 在树的同一层找到了相同的元素，则continue
        if((pathTop > 0 && nums[i] < path[pathTop - 1]) || find(uset, usetTop, nums[i]))
            continue;
        //将当前元素放入uset
        uset[usetTop++] = nums[i];
        //将当前元素放入path
        path[pathTop++] = nums[i];
        backTracking(nums, numsSize, i + 1);
        //回溯
        pathTop--;
    }
}

int** findSubsequences(int* nums, int numsSize, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //辅助数组初始化
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 33000);
    length = (int*)malloc(sizeof(int*) * 33000);
    pathTop = ansTop = 0;

    backTracking(nums, numsSize, 0);

    //设置数组中返回元素个数，以及每个一维数组的长度
    *returnSize = ansTop;
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = length[i];
    }
    return ans;
}

Swift

func findSubsequences(_ nums: [Int]) -> [[Int]] {
    var result = [[Int]]()
    var path = [Int]()
    func backtracking(startIndex: Int) {
        // 收集结果，但不返回，因为后续还要以此基础拼接
        if path.count > 1 {
            result.append(path)
        }

        var uset = Set<Int>()
        let end = nums.count
        guard startIndex < end else { return } // 终止条件
        for i in startIndex ..< end {
            let num = nums[i]
            if uset.contains(num) { continue } // 跳过重复元素
            if !path.isEmpty, num < path.last! { continue } // 确保递增
            uset.insert(num) // 通过set记录
            path.append(num) // 处理：收集元素
            backtracking(startIndex: i + 1) // 元素不重复访问
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }
    backtracking(startIndex: 0)
    return result
}

Scala

object Solution {
  import scala.collection.mutable
  def findSubsequences(nums: Array[Int]): List[List[Int]] = {
    var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
    var path = mutable.ListBuffer[Int]()

    def backtracking(startIndex: Int): Unit = {
      // 集合元素大于1，添加到结果集
      if (path.size > 1) {
        result.append(path.toList)
      }

      var used = new Array[Boolean](201)
      // 使用循环守卫，当前层没有用过的元素才有资格进入回溯
      for (i <- startIndex until nums.size if !used(nums(i) + 100)) {
        // 如果path没元素或 当前循环的元素比path的最后一个元素大，则可以进入回溯
        if (path.size == 0 || (!path.isEmpty && nums(i) >= path(path.size - 1))) {
          used(nums(i) + 100) = true
          path.append(nums(i))
          backtracking(i + 1)
          path.remove(path.size - 1)
        }
      }
    }

    backtracking(0)
    result.toList
  }
}

C#

public class Solution {
    public IList<IList<int>> res = new List<IList<int>>();
    public IList<int> path = new List<int>();
    public IList<IList<int>> FindSubsequences(int[] nums) {
        BackTracking(nums, 0);
        return res;
    }
    public void BackTracking(int[] nums, int start){
        if(path.Count >= 2){
            res.Add(new List<int>(path));
        }
        HashSet<int> hs = new HashSet<int>();
        for(int i = start; i < nums.Length; i++){
            if(path.Count > 0 && path[path.Count - 1] > nums[i] || hs.Contains(nums[i])){
                continue;
            }
            hs.Add(nums[i]);
            path.Add(nums[i]);
            BackTracking(nums, i + 1);
            path.RemoveAt(path.Count - 1);
        }
    }
}

0491.递增子序列