827.最大人工岛
给你一个大小为 n x n 二进制矩阵 grid 。最多 只能将一格 0 变成 1 。
返回执行此操作后，grid 中最大的岛屿面积是多少？
岛屿 由一组上、下、左、右四个方向相连的 1 形成。
示例 1:
- 输入: grid = [[1, 0], [0, 1]]
- 输出: 3
- 解释: 将一格0变成1，最终连通两个小岛得到面积为 3 的岛屿。
示例 2:
- 输入: grid = [[1, 1], [1, 0]]
- 输出: 4
- 解释: 将一格0变成1，岛屿的面积扩大为 4。
示例 3:
- 输入: grid = [[1, 1], [1, 1]]
- 输出: 4
- 解释: 没有0可以让我们变成1，面积依然为 4。
思路
本题的一个暴力想法，应该是遍历地图尝试 将每一个 0 改成1，然后去搜索地图中的最大的岛屿面积。
计算地图的最大面积：遍历地图 + 深搜岛屿，时间复杂度为 n * n。
（其实使用深搜还是广搜都是可以的，其目的就是遍历岛屿做一个标记，相当于染色，那么使用哪个遍历方式都行，以下我用深搜来讲解）
每改变一个0的方格，都需要重新计算一个地图的最大面积，所以 整体时间复杂度为：n^4。
如果对深度优先搜索不了解的录友，可以看这里：深度优先搜索精讲
优化思路
其实每次深搜遍历计算最大岛屿面积，我们都做了很多重复的工作。
只要用一次深搜把每个岛屿的面积记录下来就好。
第一步：一次遍历地图，得出各个岛屿的面积，并做编号记录。可以使用map记录，key为岛屿编号，value为岛屿面积
第二步：在遍历地图，遍历0的方格（因为要将0变成1），并统计该1（由0变成的1）周边岛屿面积，将其相邻面积相加在一起，遍历所有 0 之后，就可以得出 选一个0变成1 之后的最大面积。
拿如下地图的岛屿情况来举例： （1为陆地）
第一步，则遍历题目，并将岛屿到编号和面积上的统计，过程如图所示：
本过程代码如下：
int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y, int mark) {
if (visited[x][y] || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
visited[x][y] = true; // 标记访问过
grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
count++;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nextx = x + dir[i][0];
int nexty = y + dir[i][1];
if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue; // 越界了，直接跳过
dfs(grid, visited, nextx, nexty, mark);
}
}
int largestIsland(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
vector<vector<bool>> visited = vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(m, false)); // 标记访问过的点
unordered_map<int ,int> gridNum;
int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
if (!visited[i][j] && grid[i][j] == 1) {
count = 0;
dfs(grid, visited, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
mark++; // 记录下一个岛屿编号
}
}
}
}
这个过程时间复杂度 n * n 。可能有录友想：分明是两个for循环下面套这一个dfs，时间复杂度怎么回事 n * n呢？
其实大家可以仔细看一下代码，n * n这个方格地图中，每个节点我们就遍历一次，并不会重复遍历。
第二步过程如图所示：
也就是遍历每一个0的方格，并统计其相邻岛屿面积，最后取一个最大值。
这个过程的时间复杂度也为 n * n。
所以整个解法的时间复杂度，为 n * n + n * n 也就是 n^2。
当然这里还有一个优化的点，就是 可以不用 visited数组，因为有mark来标记，所以遍历过的grid[i][j]是不等于1的。
代码如下：
int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, int x, int y, int mark) {
if (grid[x][y] != 1 || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
count++;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nextx = x + dir[i][0];
int nexty = y + dir[i][1];
if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue; // 越界了，直接跳过
dfs(grid, nextx, nexty, mark);
}
}
public:
int largestIsland(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
unordered_map<int ,int> gridNum;
int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
if (grid[i][j] == 1) {
count = 0;
dfs(grid, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
mark++; // 记录下一个岛屿编号
}
}
}
}
}
不过为了让各个变量各司其事，代码清晰一些，完整代码还是使用visited数组来标记。
最后，整体代码如下：
class Solution {
private:
int count;
int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y, int mark) {
if (visited[x][y] || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
visited[x][y] = true; // 标记访问过
grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
count++;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nextx = x + dir[i][0];
int nexty = y + dir[i][1];
if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue; // 越界了，直接跳过
dfs(grid, visited, nextx, nexty, mark);
}
}
public:
int largestIsland(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
vector<vector<bool>> visited = vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(m, false)); // 标记访问过的点
unordered_map<int ,int> gridNum;
int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
if (!visited[i][j] && grid[i][j] == 1) {
count = 0;
dfs(grid, visited, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
mark++; // 记录下一个岛屿编号
}
}
}
if (isAllGrid) return n * m; // 如果都是陆地，返回全面积
// 以下逻辑是根据添加陆地的位置，计算周边岛屿面积之和
int result = 0; // 记录最后结果
unordered_set<int> visitedGrid; // 标记访问过的岛屿
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
int count = 1; // 记录连接之后的岛屿数量
visitedGrid.clear(); // 每次使用时，清空
if (grid[i][j] == 0) {
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int neari = i + dir[k][1]; // 计算相邻坐标
int nearj = j + dir[k][0];
if (neari < 0 || neari >= grid.size() || nearj < 0 || nearj >= grid[0].size()) continue;
if (visitedGrid.count(grid[neari][nearj])) continue; // 添加过的岛屿不要重复添加
// 把相邻四面的岛屿数量加起来
count += gridNum[grid[neari][nearj]];
visitedGrid.insert(grid[neari][nearj]); // 标记该岛屿已经添加过
}
}
result = max(result, count);
}
}
return result;
}
};
其他语言版本
Java
class Solution {
private static final int[][] position = {{-1, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {0, -1}}; // 四个方向
/**
* @param grid 矩阵数组
* @param row 当前遍历的节点的行号
* @param col 当前遍历的节点的列号
* @param mark 当前区域的标记
* @return 返回当前区域内 1 的数量
*/
public int dfs(int[][] grid, int row, int col, int mark) {
int ans = 0;
grid[row][col] = mark;
for (int[] current: position) {
int curRow = row + current[0], curCol = col + current[1];
if (curRow < 0 || curRow >= grid.length || curCol < 0 || curCol >= grid.length) continue; // 越界
if (grid[curRow][curCol] == 1)
ans += 1 + dfs(grid, curRow, curCol, mark);
}
return ans;
}
public int largestIsland(int[][] grid) {
int ans = Integer.MIN_VALUE, size = grid.length, mark = 2;
Map<Integer, Integer> getSize = new HashMap<>();
for (int row = 0; row < size; row++) {
for (int col = 0; col < size; col++) {
if (grid[row][col] == 1) {
int areaSize = 1 + dfs(grid, row, col, mark);
getSize.put(mark++, areaSize);
}
}
}
for (int row = 0; row < size; row++) {
for (int col = 0; col < size; col++) {
// 当前位置如果不是 0 那么直接跳过，因为我们只能把 0 变成 1
if (grid[row][col] != 0) continue;
Set<Integer> hashSet = new HashSet<>(); // 防止同一个区域被重复计算
// 计算从当前位置开始获取的 1 的数量，初始化 1 是因为把当前位置的 0 转换成了 1
int curSize = 1;
for (int[] current: position) {
int curRow = row + current[0], curCol = col + current[1];
if (curRow < 0 || curRow >= grid.length || curCol < 0 || curCol >= grid.length) continue;
int curMark = grid[curRow][curCol]; // 获取对应位置的标记
// 如果标记存在 hashSet 中说明该标记被记录过一次，如果不存在 getSize 中说明该标记是无效标记(此时 curMark = 0)
if (hashSet.contains(curMark) || !getSize.containsKey(curMark)) continue;
hashSet.add(curMark);
curSize += getSize.get(curMark);
}
ans = Math.max(ans, curSize);
}
}
// 当 ans == Integer.MIN_VALUE 说明矩阵数组中不存在 0，全都是有效区域，返回数组大小即可
return ans == Integer.MIN_VALUE ? size * size : ans;
}
}
Python
class Solution:
def largestIsland(self, grid: List[List[int]]) -> int:
visited = set() #标记访问过的位置
m, n = len(grid), len(grid[0])
res = 0
island_size = 0 #用于保存当前岛屿的尺寸
directions = [[0, 1], [0, -1], [1, 0], [-1, 0]] #四个方向
islands_size = defaultdict(int) #保存每个岛屿的尺寸
def dfs(island_num, r, c):
visited.add((r, c))
grid[r][c] = island_num #访问过的位置标记为岛屿编号
nonlocal island_size
island_size += 1
for i in range(4):
nextR = r + directions[i][0]
nextC = c + directions[i][1]
if (nextR not in range(m) or #行坐标越界
nextC not in range(n) or #列坐标越界
(nextR, nextC) in visited): #坐标已访问
continue
if grid[nextR][nextC] == 1: #遇到有效坐标，进入下一个层搜索
dfs(island_num, nextR, nextC)
island_num = 2 #初始岛屿编号设为2， 因为grid里的数据有0和1， 所以从2开始编号
all_land = True #标记是否整个地图都是陆地
for r in range(m):
for c in range(n):
if grid[r][c] == 0:
all_land = False #地图里不全是陆地
if (r, c) not in visited and grid[r][c] == 1:
island_size = 0 #遍历每个位置前重置岛屿尺寸为0
dfs(island_num, r, c)
islands_size[island_num] = island_size #保存当前岛屿尺寸
island_num += 1 #下一个岛屿编号加一
if all_land:
return m * n #如果全是陆地， 返回地图面积
count = 0 #某个位置0变成1后当前岛屿尺寸
#因为后续计算岛屿面积要往四个方向遍历，但某2个或3个方向的位置可能同属于一个岛，
#所以为避免重复累加，把已经访问过的岛屿编号加入到这个集合
visited_island = set() #保存访问过的岛屿
for r in range(m):
for c in range(n):
if grid[r][c] == 0:
count = 1 #把由0转换为1的位置计算到面积里
visited_island.clear() #遍历每个位置前清空集合
for i in range(4):
nearR = r + directions[i][0]
nearC = c + directions[i][1]
if nearR not in range(m) or nearC not in range(n): #周围位置越界
continue
if grid[nearR][nearC] in visited_island: #岛屿已访问
continue
count += islands_size[grid[nearR][nearC]] #累加连在一起的岛屿面积
visited_island.add(grid[nearR][nearC]) #标记当前岛屿已访问
res = max(res, count)
return res