39. 组合总和

力扣题目链接

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
[7],
[2,2,3]
]

示例 2：

输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
[2,2,2,2],
[2,3,3],
[3,5]
]

思路

题目中的无限制重复被选取，吓得我赶紧想想出现0 可咋办，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。

本题和77.组合，216.组合总和III的区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下：

注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

而在77.组合和216.组合总和III 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。

回溯三部曲

递归函数参数

这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）

首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。

此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合，216.组合总和III。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合

注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我在讲解排列的时候会重点介绍。

代码如下：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)

递归终止条件

在如下树形结构中：

从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。

sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：

if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}

单层搜索的逻辑

单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。

注意本题和77.组合、216.组合总和III的一个区别是：本题元素为可重复选取的。

如何重复选取呢，看代码，注释部分：

for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}

按照关于回溯算法，你该了解这些！中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

剪枝优化

在这个树形结构中：

以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。

其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。

那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。

对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

如图：

for循环剪枝代码如下：

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

整体代码如下：（注意注释的部分）

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)，注意这只是复杂度的上界，因为剪枝的存在，真实的时间复杂度远小于此
空间复杂度: O(target)

总结

本题和我们之前讲过的77.组合、216.组合总和III有两点不同：

组合没有数量要求
元素可无限重复选取

针对这两个问题，我都做了详细的分析。

并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用17.电话号码的字母组合做了对比。

最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。

在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！

可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。

其他语言版本

Java

// 剪枝优化
class Solution {
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
        backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }

    public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
        // 找到了数字和为 target 的组合
        if (sum == target) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
            // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
            if (sum + candidates[i] > target) break;
            path.add(candidates[i]);
            backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素
        }
    }
}

Python

回溯（版本一）

class Solution:

    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total > target:
            return
        if total == target:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i, path, result)  # 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def combinationSum(self, candidates, target):
        result = []
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], result)
        return result

回溯剪枝（版本一）

class Solution:

    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if total + candidates[i] > target:
                continue
            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i, path, result)
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def combinationSum(self, candidates, target):
        result = []
        candidates.sort()  # 需要排序
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], result)
        return result

回溯（版本二）

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        result =[]
        self.backtracking(candidates, target, 0, [], result)
        return result
    def backtracking(self, candidates, target, startIndex, path, result):
        if target == 0:
            result.append(path[:])
            return
        if target < 0:
            return
        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target - candidates[i], i, path, result)
            path.pop()

回溯剪枝（版本二）

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        result =[]
        candidates.sort()
        self.backtracking(candidates, target, 0, [], result)
        return result
    def backtracking(self, candidates, target, startIndex, path, result):
        if target == 0:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if target - candidates[i]  < 0:
                break
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target - candidates[i], i, path, result)
            path.pop()

Go

主要在于递归中传递下一个数字

var (
    res [][]int
    path  []int
)
func combinationSum(candidates []int, target int) [][]int {
    res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(candidates))
    sort.Ints(candidates)   // 排序，为剪枝做准备
    dfs(candidates, 0, target)
    return res
}

func dfs(candidates []int, start int, target int) {
    if target == 0 {   // target 不断减小，如果为0说明达到了目标值
        tmp := make([]int, len(path))
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
        return
    }
    for i := start; i < len(candidates); i++ {
        if candidates[i] > target {  // 剪枝，提前返回
            break
        }
        path = append(path, candidates[i])
        dfs(candidates, i, target - candidates[i])
        path = path[:len(path) - 1]
    }
}

JavaScript

var combinationSum = function(candidates, target) {
    const res = [], path = [];
    candidates.sort((a,b)=>a-b); // 排序
    backtracking(0, 0);
    return res;
    function backtracking(j, sum) {
        if (sum === target) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        for(let i = j; i < candidates.length; i++ ) {
            const n = candidates[i];
            if(n > target - sum) break;
            path.push(n);
            sum += n;
            backtracking(i, sum);
            path.pop();
            sum -= n;
        }
    }
};

TypeScript

function combinationSum(candidates: number[], target: number): number[][] {
    const resArr: number[][] = [];
    function backTracking(
        candidates: number[], target: number,
        startIndex: number, route: number[], curSum: number
    ): void {
        if (curSum > target) return;
        if (curSum === target) {
            resArr.push(route.slice());
            return
        }
        for (let i = startIndex, length = candidates.length; i < length; i++) {
            let tempVal: number = candidates[i];
            route.push(tempVal);
            backTracking(candidates, target, i, route, curSum + tempVal);
            route.pop();
        }
    }
    backTracking(candidates, target, 0, [], 0);
    return resArr;
};

Rust

impl Solution {
    pub fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, candidates: &Vec<i32>, target: i32, mut sum: i32, start_index: usize) {
        if sum == target {
            result.push(path.to_vec());
            return;
        }
        for i in start_index..candidates.len() {
            if sum + candidates[i] <= target {
                sum += candidates[i];
                path.push(candidates[i]);
                Self::backtracking(result, path, candidates, target, sum, i);
                sum -= candidates[i];
                path.pop();
            }
        }
    }

    pub fn combination_sum(candidates: Vec<i32>, target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
        let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, &candidates, target, 0, 0);
        result
    }
}

C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
//记录每一个和等于target的path数组长度
int* length;

void backTracking(int target, int index, int* candidates, int candidatesSize, int sum) {
    //若sum>=target就应该终止遍历
    if(sum >= target) {
        //若sum等于target，将当前的组合放入ans数组中
        if(sum == target) {
            int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
            int j;
            for(j = 0; j < pathTop; j++) {
                tempPath[j] = path[j];
            }
            ans[ansTop] = tempPath;
            length[ansTop++] = pathTop;
        }
        return ;
    }

    int i;
    for(i = index; i < candidatesSize; i++) {
        //将当前数字大小加入sum
        sum+=candidates[i];
        path[pathTop++] = candidates[i];
        backTracking(target, i, candidates, candidatesSize, sum);
        sum-=candidates[i];
        pathTop--;
    }
}

int** combinationSum(int* candidates, int candidatesSize, int target, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //初始化变量
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * 50);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 200);
    length = (int*)malloc(sizeof(int) * 200);
    ansTop = pathTop = 0;
    backTracking(target, 0, candidates, candidatesSize, 0);

    //设置返回的数组大小
    *returnSize = ansTop;
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = length[i];
    }
    return ans;
}

Swift

func combinationSum(_ candidates: [Int], _ target: Int) -> [[Int]] {
    var result = [[Int]]()
    var path = [Int]()
    func backtracking(sum: Int, startIndex: Int) {
        // 终止条件
        if sum == target {
            result.append(path)
            return
        }

        let end = candidates.count
        guard startIndex < end else { return }
        for i in startIndex ..< end {
            let sum = sum + candidates[i] // 使用局部变量隐藏回溯
            if sum > target { continue } // 剪枝

            path.append(candidates[i]) // 处理
            backtracking(sum: sum, startIndex: i) // i不用+1以重复访问
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }
    backtracking(sum: 0, startIndex: 0)
    return result
}

Scala

object Solution {
  import scala.collection.mutable
  def combinationSum(candidates: Array[Int], target: Int): List[List[Int]] = {
    var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
    var path = mutable.ListBuffer[Int]()

    def backtracking(sum: Int, index: Int): Unit = {
      if (sum == target) {
        result.append(path.toList) // 如果正好等于target，就添加到结果集
        return
      }
      // 应该是从当前索引开始的，而不是从0
      // 剪枝优化：添加循环守卫，当sum + c(i) <= target的时候才循环，才可以进入下一次递归
      for (i <- index until candidates.size if sum + candidates(i) <= target) {
        path.append(candidates(i))
        backtracking(sum + candidates(i), i)
        path = path.take(path.size - 1)
      }
    }

    backtracking(0, 0)
    result.toList
  }
}

C#

public class Solution
{
    public IList<IList<int>> res = new List<IList<int>>();
    public IList<int> path = new List<int>();
    public IList<IList<int>> CombinationSum(int[] candidates, int target)
    {
        BackTracking(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    public void BackTracking(int[] candidates, int target, int start, int sum)
    {
        if (sum > target) return;
        if (sum == target)
        {
            res.Add(new List<int>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.Length; i++)
        {
            sum += candidates[i];
            path.Add(candidates[i]);
            BackTracking(candidates, target, i, sum);
            sum -= candidates[i];
            path.RemoveAt(path.Count - 1);
        }
    }
}

// 剪枝优化
public class Solution
{
    public IList<IList<int>> res = new List<IList<int>>();
    public IList<int> path = new List<int>();
    public IList<IList<int>> CombinationSum(int[] candidates, int target)
    {
        Array.Sort(candidates);
        BackTracking(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    public void BackTracking(int[] candidates, int target, int start, int sum)
    {
        if (sum > target) return;
        if (sum == target)
        {
            res.Add(new List<int>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.Length && sum + candidates[i] <= target; i++)
        {
            sum += candidates[i];
            path.Add(candidates[i]);
            BackTracking(candidates, target, i, sum);
            sum -= candidates[i];
            path.RemoveAt(path.Count - 1);
        }
    }
}

0039.组合总和