图的基本理论
图解决了什么问题
- 线性表只有一个前驱一个后继节点的关系
- 树也只能有一个前驱节点也就是父节点
- 图可以表示多对多关系
常用概念
- 顶点
- 边
- 路径
- 无向图
顶点之间没有方向 - 有向图
顶点之间右方向 - 带权图
边带全值
图的表示方式
邻接矩阵
邻接矩阵表示顶点之间相邻关系的矩阵，相邻的值为1不相邻的值为0
邻接表
- 邻接矩阵因为不存在的边也会分配空间造成空间的浪费，邻接表只关心存在的边不存在空间的浪费
- 邻接表由数组与链表组成
图的遍历
深度优先遍历
图的深度优先遍历步骤：
1）访问初始节点A，并标记A已访问
2）查找初始节点A的第一个邻接节点B
3）若B存在执行步骤4，否者回到第一步从A的下一个节点继续
4）若B没有被访问，对B进行深度优先遍历（相当于又回到步骤2，查找B的第一个邻接节点），若B已被访问则查找B的下一个邻接节点
遍历如下图的邻接矩阵步骤举例：
1)从节点A开始，遍历A的邻接节点，这时发现第一个是B
2)然后从B开始，找第一个邻接节点，如果已经被访问就找下一个，这时发现是C
3）从C开始…同上
广度优先遍历
还是以上图的邻接矩阵为例，举例说明查找步骤：
1）从A节点开始遍历，设置为已访问，并节点放入队列
2）如果队列不为空，取出A这个节点，找出这个节点的所有未访问的邻接节点并设置已访问，置为空，直到找不到下一个邻接节点。这时遍历到D这个位置上结束本次循环
3）重复步骤2，从队列取出第一个值继续寻找邻接节点。。。。
代码
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
int n = 8; //结点的个数
String Vertexs[] = {
"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); //
graph.insertEdge(1, 2, 1); //
graph.insertEdge(1, 3, 1); //
graph.insertEdge(1, 4, 1); //
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs(); // A->B->C->D-E
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {
//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {
//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for(int[] link : edges) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
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