21、数据结构与算法进阶：动态规划案例-程序员快看-教程，程序员编程资料站

摘要

上期介绍动态规划的什么，有什么特性，能解决什么类型的问题。这期就通过一个案例，看一下动态规划解决问题的过程。

动态规划解决问题，需要做好这三步，1 定义状态，2 梳理状态转换方程，3 确定状态初始状态，最后得出的结果值。

接下来通过求最多子序列和这个案例，来体会一下。

最多子序列和

给定一个长度为 n 的整数序列，求它的最大连续子序列和，比如 -2、1、-3、4、-1、2、1、-5、4 的最大连续子序列和是 4 + (-1) + 2 + 1 =6。

首先定义状态，假设 dp(i) 是以 nums[i] 结尾的最大子序列和（nums 是整个序列）：

以 nums[0] = -2 结尾的最大子序列是 -2，所以 dp(0) = -2；
以 nums[1] = 1 结尾的最大子序列是 1，所以 dp(1) = 1；
以 nums[2] = -3 结尾的最大子序列是 1、-3，所以 dp(2) = dp(1) -3 = -2；
以 nums[3] = 4 结尾的最大子序列是 4，所以 dp(3) = 4；
以 nums[4] = -1 结尾的最大子序列是 4、-1，所以 dp(4) = dp(3) - 1 = 3；
以 nums[5] = 2 结尾的最大子序列是 4、-1、2，所以 dp(5) = dp(4) + 2 = 5；
以 nums[6] = 1 结尾的最大子序列是 4、-1、2、1，所以 dp(6) = dp(5) + 1 = 6；
以 nums[7] = -5 结尾的最大子序列是 4、-1、2、1、-5，所以 dp(7) = dp(6) - 5 = 1；
以 nums[8] = 5 结尾的最大子序列是 4、-1、2、1、-5、4，所以 dp(8) = dp(7) + 4 = 5；

注意：
定义状态部分中“以 xx 结尾”，就是这个连续子序列必须以 xx 结尾。

然后梳理总结出状态转移方程，即总结出规律：

如果 dp(i-1) ≤ \leq ≤ 0，那么 dp(i) = nums[i]；
如果 dp(i-1) >` 0, 那么 dp(i) = dp(i-1) + nums[i]。

然后确定初始状态，dp(0) = nums[0]。

最后，就可以得出最大子序列和是所以 dp(i) 中的最大值 max { dp(i) }, i ∈ \in ∈ [0, nums.length]。

实现代码

按照上面的梳理，实现代码如下：

static int maxSubArray1(int[] nums) {
   
     
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length];
    dp[0] = nums[0];
    int max = dp[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
   
     
        int prev = dp[i-1];
        if (prev <= 0) {
   
     
            dp[i] = nums[i];
        } else {
   
     
            dp[i] = prev + nums[i];
        }
        max = Math.max(dp[i], max);
    }
    return max;
}

实现代码的空间复杂度和时间复杂度都是 O(n)。

看代码逻辑，每次 dp(i) 的处理只和 dp(i-1) 有关，那么就可以存在一个变量记录 dp(i-1) 的值，不需要一个 dp 数组去处理。优化代码如下：

static int maxSubArray(int[] nums) {
   
     
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
    int dp = nums[0];
    int max = dp;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
   
     
        int prev = dp;
        if (prev <= 0) {
   
     
            dp = nums[i];
        } else {
   
     
            dp = prev + nums[i];
        }
        max = Math.max(dp, max);
    }
    return max;
}

优化后的时间复杂度是 O(n)，但是空间复杂度降为 O(1) 了。

总结

1、定义状态；
2、梳理状态转换方程；
3、确定状态初始状态；

这就是动态规划的正确解决套路。